W14. Полярные координаты, сферические координаты, конические сечения

Автор

Salman Ahmadi-Asl

Дата публикации

9 декабря 2025 г.

1. Краткое содержание

1.1 Полярные координаты

Полярные координаты (polar coordinates) задают точку на плоскости через расстояние и угол, а не через смещения вдоль горизонтали и вертикали. Если декартовы координаты (Cartesian coordinates) описывают положение точки парой \((x, y)\), то полярные координаты используют \((r, \theta)\): здесь \(r\) — расстояние от начала координат (полюс, pole), а \(\theta\) — угол против часовой стрелки от положительной оси \(x\) (полярная ось, polar axis).

Интуитивно полярные координаты похожи на указание маршрута: «пройди 5 метров под углом 30° к северо-востоку» — часто нагляднее, чем «4{,}33 м на восток и 2{,}5 м на север».

1.1.1 Переход между системами координат

Между декартовыми и полярными координатами действуют следующие связи:

Из полярных в декартовы:

\[ x = r \cos \theta \] \[ y = r \sin \theta \]

Это следует из тригонометрии прямоугольного треугольника с гипотенузой \(r\) и углом \(\theta\): горизонтальный катет равен \(r \cos \theta\), вертикальный — \(r \sin \theta\).

Из декартовых в полярные:

\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \] \[ \tan \theta = \frac{y}{x} \]

Первое соотношение — теорема Пифагора, второе — определение тангенса. При нахождении \(\theta\) важно учитывать квадрант, чтобы получить правильный угол.

1.1.2 Преобразование уравнений

Чтобы перевести уравнение в декартовых координатах (Cartesian equation) в полярную форму (polar form), подставляют \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\) и упрощают. Цель — получить уравнение только с \(r\) и \(\theta\).

Например:

  • Прямая \(x = 5\) даёт \(r \cos \theta = 5\), то есть \(r = 5 \sec \theta\)
  • Окружность \(x^2 + y^2 = 16\) даёт \(r^2 = 16\), то есть \(r = 4\)
  • Прямая \(y = x\) даёт \(r \sin \theta = r \cos \theta\), откуда \(\tan \theta = 1\) и \(\theta = \frac{\pi}{4}\)

Некоторые уравнения в полярной форме сильно упрощаются (например, окружности с центром в начале координат), другие, наоборот, становятся сложнее.

1.2 Сферические координаты

Так же как полярные координаты обобщают декартовы на плоскости, сферические координаты (spherical coordinates) обобщают их на пространство. Если в 3D используют \((x, y, z)\), то в сферической системе берут \((\rho, \theta, \varphi)\), где:

  • \(\rho\) (rho) — расстояние от начала координат до точки
  • \(\theta\) (theta) — азимутальный угол в плоскости \(xy\) от положительной оси \(x\) (как в 2D-полярных координатах)
  • \(\varphi\) (phi) — полярный угол (угол от положительной оси \(z\) «вниз» к лучу, идущему к точке)

Сферические координаты особенно удобны при сферической симметрии (spherical symmetry): гравитационные поля планет, сферически распространяющиеся волны, широта и долгота в навигации.

1.2.1 Формулы перехода для сферических координат

Из сферических в декартовы:

\[ x = \rho \sin \varphi \cos \theta \] \[ y = \rho \sin \varphi \sin \theta \] \[ z = \rho \cos \varphi \]

Геометрически \(\rho \sin \varphi\) — радиус окружности в плоскости \(xy\), который затем раскладывается на \(x\) и \(y\) с помощью \(\cos \theta\) и \(\sin \theta\).

Из декартовых в сферические:

\[ \rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] \[ \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \quad \text{(учитывайте квадрант)} \] \[ \varphi = \arccos\left(\frac{z}{\rho}\right) \]

Стандартные диапазоны: \(\rho \geq 0\), \(0 \leq \theta < 2\pi\), \(0 \leq \varphi \leq \pi\).

1.3 Конические сечения

Конические сечения (conic sections) — это кривые, получаемые сечением двойного конуса плоскостью: окружности, эллипсы, параболы и гиперболы. Они постоянно встречаются в математике, физике и инженерии — от орбит планет до тарелок спутников и арок в архитектуре.

1.3.1 Определение через фокус и директрису

Все конические сечения (кроме окружности как отдельного случая) можно описать едино: коническое сечение — множество точек \(P\), для которых отношение

\[\frac{\text{расстояние от } P \text{ до фиксированной точки (фокус)}}{\text{расстояние от } P \text{ до фиксированной прямой (директриса)}} = e\]

равно постоянному числу \(e\), называемому эксцентриситетом (eccentricity). По значению \(e\) определяют тип кривой:

  • \(e = 0\): окружность (circle) (частный случай, когда фокус совпадает с центром)
  • \(0 < e < 1\): эллипс (ellipse) (окружность входит в этот класс как предельный случай \(e=0\))
  • \(e = 1\): парабола (parabola)
  • \(e > 1\): гипербола (hyperbola)

Эксцентриситет отражает «вытянутость» кривой: у окружности симметрия максимальна (\(e=0\)), парабола — пограничный случай (\(e=1\)), гиперболы — «открытые» кривые (\(e>1\)).

1.3.2 Эллипсы

Эллипс — замкнутая кривая, для которой сумма расстояний от любой её точки до двух фиксированных точек (фокусы, foci) постоянна. В стандартной форме с центром в начале координат и горизонтальной большой осью:

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)\]

Для этого эллипса:

  • Большая полуось (semi-major axis): \(a\) (половина наибольшего диаметра)
  • Малая полуось (semi-minor axis): \(b\) (половина наименьшего диаметра)
  • Эксцентриситет: \(e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\)
  • Фокусы: \((\pm ae, 0) = (\pm c, 0)\), где \(c = ae = \sqrt{a^2 - b^2}\)
  • Директрисы (directrices): прямые \(x = \pm \frac{a}{e}\)

Чем ближе \(b\) к \(a\), тем «окружнее» эллипс (меньше \(e\)). Если \(b = a\), получается окружность с \(e = 0\).

1.3.3 Гиперболы

Гипербола состоит из двух ветвей; для точек на кривой по модулю разность расстояний до двух фокусов постоянна. В стандартной форме с горизонтальной действительной осью:

\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]

Для этой гиперболы:

  • Вершины (vertices): \((\pm a, 0)\)
  • Эксцентриситет: \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} > 1\)
  • Фокусы: \((\pm ae, 0) = (\pm c, 0)\), где \(c = ae = \sqrt{a^2 + b^2}\)
  • Директрисы: \(x = \pm \frac{a}{e}\)
  • Асимптоты (asymptotes): прямые \(y = \pm \frac{b}{a}x\)

Для гиперболы \(c^2 = a^2 + b^2\) (со знаком «плюс»), тогда как для эллипса \(c^2 = a^2 - b^2\) (со знаком «минус»).

1.3.4 Параболы

Парабола — множество точек, равноудалённых от фокуса и директрисы. Для параболы, открытой вправо:

\[y^2 = 4px \quad (p > 0)\]

Свойства:

  • Фокус: \((p, 0)\)
  • Директриса: прямая \(x = -p\)
  • Эксцентриситет: всегда \(e = 1\)
  • Вершина: в начале координат \((0, 0)\)

Параметр \(p\) — расстояние от вершины до фокуса (оно же — от вершины до директрисы).

1.4 Конические сечения в полярной форме

Если у конического сечения один фокус совпадает с началом координат, уравнение часто удобно записать в полярных координатах; так делают в астрономии и физике.

1.4.1 Общее полярное уравнение

Общий вид для коники с фокусом в начале координат:

\[r = \frac{ed}{1 \pm e \cos \theta} \quad \text{(вертикальная директриса)}\]

или

\[r = \frac{ed}{1 \pm e \sin \theta} \quad \text{(горизонтальная директриса)}\]

где:

  • \(e\) — эксцентриситет
  • \(d\) — длина перпендикуляра от фокуса до директрисы
  • знак в знаменателе задаёт, лежит ли директриса справа/сверху (\(+\)) или слева/снизу (\(-\)) относительно фокуса
1.4.2 Переход между формами

Декартовы → полярные: для эллипса или гиперболы в стандартной декартовой форме:

  1. Найти \(a\), \(b\) и вычислить \(e\)
  2. Выбрать положение фокуса и сдвинуть систему координат так, чтобы фокус оказался в начале
  3. Найти \(d\) (расстояние от фокуса до директрисы)
  4. Подставить в общую полярную формулу с нужным знаком

Полярные → декартовы:

  1. Умножить обе части на знаменатель
  2. Подставить \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\), \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)
  3. Изолировать радикал (если он есть)
  4. При необходимости возвести в квадрат
  5. Преобразовать и выделить полные квадраты до стандартного вида

2. Определения

  • Полярные координаты (Polar coordinates): система координат на плоскости \((r, \theta)\), где \(r\) — расстояние до начала, \(\theta\) — угол от положительной оси \(x\).
  • Полюс (Pole): начало координат в полярной системе.
  • Полярная ось (Polar axis): положительная ось \(x\), от которой отсчитывают углы.
  • Сферические координаты (Spherical coordinates): система в \(\mathbb{R}^3\) с координатами \((\rho, \theta, \varphi)\): \(\rho\) — расстояние до начала, \(\theta\) — азимут в плоскости \(xy\), \(\varphi\) — полярный угол от оси \(z\).
  • Коническое сечение (Conic section): кривая — сечение двойного конуса плоскостью (окружность, эллипс, парабола, гипербола).
  • Эксцентриситет (Eccentricity): параметр \(e\): \(e=0\) для окружности, \(0<e<1\) для эллипса, \(e=1\) для параболы, \(e>1\) для гиперболы.
  • Фокус / фокусы (Focus, foci): фиксированные точки в геометрическом определении коники.
  • Директриса (Directrix): фиксированная прямая в определении «фокус — директриса».
  • Эллипс (Ellipse): коника с \(0<e<1\); сумма расстояний до двух фокусов постоянна.
  • Гипербола (Hyperbola): коника с \(e>1\); две ветви; модуль разности расстояний до фокусов постоянен.
  • Парабола (Parabola): коника с \(e=1\); равные расстояния до фокуса и директрисы.
  • Большая полуось (Semi-major axis): у эллипса половина наибольшего диаметра, обозначение \(a\).
  • Малая полуось (Semi-minor axis): у эллипса половина наименьшего диаметра, обозначение \(b\).
  • Вершина / вершины (Vertex, vertices): точки пересечения коники с её осью симметрии.
  • Асимптоты (Asymptotes): прямые, к которым бесконечно приближаются ветви гиперболы.

3. Формулы

  • Полярные → декартовы: \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\)
  • Декартовы → полярные: \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\), \(\tan \theta = \frac{y}{x}\)
  • Сферические → декартовы: \(x = \rho \sin \varphi \cos \theta\), \(y = \rho \sin \varphi \sin \theta\), \(z = \rho \cos \varphi\)
  • Декартовы → сферические: \(\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), \(\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\), \(\varphi = \arccos\left(\frac{z}{\rho}\right)\)
  • Эксцентриситет эллипса: \(e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \frac{c}{a}\), где \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\)
  • Эксцентриситет гиперболы: \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \frac{c}{a}\), где \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
  • Канонический эллипс: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) (горизонтальная большая ось, \(a > b\))
  • Каноническая гипербола: \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) (горизонтальная действительная ось)
  • Канонические параболы: \(y^2 = 4px\) (ветви вправо), \(x^2 = 4py\) (ветви вверх)
  • Фокусы эллипса: \((\pm ae, 0) = (\pm c, 0)\) при горизонтальной большой оси
  • Директрисы эллипса: \(x = \pm \frac{a}{e}\) при горизонтальной большой оси
  • Фокусы гиперболы: \((\pm ae, 0) = (\pm c, 0)\) при горизонтальной действительной оси
  • Директрисы гиперболы: \(x = \pm \frac{a}{e}\) при горизонтальной действительной оси
  • Асимптоты гиперболы: \(y = \pm \frac{b}{a}x\) для \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
  • Фокус параболы: \((p, 0)\) для \(y^2 = 4px\)
  • Директриса параболы: \(x = -p\) для \(y^2 = 4px\)
  • Коника в полярной форме (вертикальная директриса): \(r = \frac{ed}{1 \pm e \cos \theta}\)
  • Коника в полярной форме (горизонтальная директриса): \(r = \frac{ed}{1 \pm e \sin \theta}\)
  • Прямая через две точки (полярные координаты): \(r[r_2 \sin(\theta - \theta_2) - r_1 \sin(\theta - \theta_1)] = r_1 r_2 \sin(\theta_2 - \theta_1)\)
  • То же (альтернативная форма): \(\frac{1}{r} \sin(\theta_2 - \theta_1) = \frac{1}{r_2} \sin(\theta - \theta_1) - \frac{1}{r_1} \sin(\theta - \theta_2)\)

4. Примеры

4.1. Перевести \(x = 5\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 1)

Переведите декартово уравнение \(x = 5\) в полярную форму и максимально упростите ответ.

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: подставьте \(x = r \cos \theta\) и упростите.

  1. Подстановка: \[x = 5 \implies r \cos \theta = 5\]
  2. Выражаем \(r\): \[r = \frac{5}{\cos \theta} = 5 \sec \theta\]

Ответ: \(r = 5 \sec \theta\)

4.2. Перевести \(y = -3\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 2)

Переведите уравнение \(y = -3\) в полярную форму.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Подстановка: \[y = -3 \implies r \sin \theta = -3\]
  2. Выражаем \(r\): \[r = \frac{-3}{\sin \theta} = -3 \csc \theta\]

Ответ: \(r = -3 \csc \theta\)

4.3. Перевести \(y = x\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 3)

Переведите уравнение \(y = x\) в полярную форму.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Подстановка: \[y = x \implies r \sin \theta = r \cos \theta\]
  2. Делим на \(r \cos \theta\) (при \(r \neq 0\)): \[\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1\] \[\tan \theta = 1\]
  3. Угол: \[\theta = \frac{\pi}{4} \text{ или } \theta = \frac{5\pi}{4}\]

Ответ: \(\theta = \frac{\pi}{4}\) или \(\theta = \frac{5\pi}{4}\) (одна и та же прямая через начало координат)

4.4. Перевести \(y = 7x\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 4)

Переведите уравнение \(y = 7x\) в полярную форму.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Подстановка: \[y = 7x \implies r \sin \theta = 7r \cos \theta\]
  2. Делим на \(r \cos \theta\): \[\tan \theta = 7\]
  3. Угол: \[\theta = \arctan(7)\]

Ответ: \(\theta = \arctan(7)\) (плюс \(\pi\) для противоположного направления)

4.5. Перевести \(x^2 + y^2 = 16\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 5)

Переведите уравнение \(x^2 + y^2 = 16\) в полярную форму.

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: \(r^2 = x^2 + y^2\).

  1. Тождество: \[x^2 + y^2 = 16 \implies r^2 = 16\]
  2. Положительный корень: \[r = 4\]

Ответ: \(r = 4\) (окружность радиуса 4 с центром в начале координат)

4.6. Перевести \(x^2 + y^2 = 2x\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 6)

Переведите уравнение \(x^2 + y^2 = 2x\) в полярную форму.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Подстановка: \[x^2 + y^2 = 2x \implies r^2 = 2r \cos \theta\]
  2. Преобразование: \[r^2 - 2r \cos \theta = 0\] \[r(r - 2 \cos \theta) = 0\]
  3. Решение (кроме \(r = 0\)): \[r = 2 \cos \theta\]

Ответ: \(r = 2 \cos \theta\) (окружность)

4.7. Перевести \(x^2 + y^2 = 9y\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 7)

Переведите уравнение \(x^2 + y^2 = 9y\) в полярную форму.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Подстановка: \[x^2 + y^2 = 9y \implies r^2 = 9r \sin \theta\]
  2. Преобразование: \[r^2 - 9r \sin \theta = 0\] \[r(r - 9 \sin \theta) = 0\]
  3. Решение (кроме \(r = 0\)): \[r = 9 \sin \theta\]

Ответ: \(r = 9 \sin \theta\)

4.8. Перевести \(xy = 1\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 8)

Переведите уравнение \(xy = 1\) в полярную форму.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Подстановка: \[xy = 1 \implies (r \cos \theta)(r \sin \theta) = 1\] \[r^2 \cos \theta \sin \theta = 1\]
  2. Формула двойного угла \(\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta\): \[\frac{r^2 \sin 2\theta}{2} = 1\] \[r^2 \sin 2\theta = 2\]
  3. Выражаем \(r^2\): \[r^2 = \frac{2}{\sin 2\theta} = 2 \csc 2\theta\]

Ответ: \(r^2 = 2 \csc 2\theta\)

4.9. Перевести \(y = x^2\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 9)

Переведите уравнение \(y = x^2\) в полярную форму.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Подстановка: \[y = x^2 \implies r \sin \theta = (r \cos \theta)^2\] \[r \sin \theta = r^2 \cos^2 \theta\]
  2. Делим на \(r\) (при \(r \neq 0\)): \[\sin \theta = r \cos^2 \theta\]
  3. Выражаем \(r\): \[r = \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} = \tan \theta \sec \theta\]

Ответ: \(r = \tan \theta \sec \theta\)

4.10. Перевести \(x^2 - y^2 = 4\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 10)

Переведите уравнение \(x^2 - y^2 = 4\) в полярную форму, используя \(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos 2\theta\).

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Подстановка: \[(r \cos \theta)^2 - (r \sin \theta)^2 = 4\] \[r^2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 4\]
  2. Двойной угол: \[r^2 \cos 2\theta = 4\]
  3. Выражаем \(r^2\): \[r^2 = \frac{4}{\cos 2\theta} = 4 \sec 2\theta\]

Ответ: \(r^2 = 4 \sec 2\theta\)

4.11. Перевести \((x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 11)

Переведите уравнение \((x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2\) в полярную форму.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Подстановка: \[(r^2)^2 = r^2 \cos^2 \theta - r^2 \sin^2 \theta\] \[r^4 = r^2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)\]
  2. Двойной угол: \[r^4 = r^2 \cos 2\theta\]
  3. Преобразование: \[r^2(r^2 - \cos 2\theta) = 0\]
  4. Решение (кроме \(r = 0\)): \[r^2 = \cos 2\theta\]

Ответ: \(r^2 = \cos 2\theta\)

4.12. Перевести \(y = \sqrt{3}x\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 12)

Переведите уравнение \(y = \sqrt{3}x\) в полярную форму, опираясь на «хороший» угол \(\theta\).

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Подстановка: \[y = \sqrt{3}x \implies r \sin \theta = \sqrt{3}r \cos \theta\]
  2. Делим на \(r \cos \theta\): \[\tan \theta = \sqrt{3}\]
  3. Стандартный угол: \[\theta = \frac{\pi}{3}\]

Ответ: \(\theta = \frac{\pi}{3}\) (плюс \(\pi\) для противоположного луча)

4.13. Перевести \(x = 0\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 13)

Переведите уравнение \(x = 0\) в полярную форму.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Подстановка: \[x = 0 \implies r \cos \theta = 0\]
  2. Условие на косинус: \[\cos \theta = 0\]
  3. Углы: \[\theta = \frac{\pi}{2} \text{ или } \theta = \frac{3\pi}{2}\]

Ответ: \(\theta = \frac{\pi}{2}\) или \(\theta = \frac{3\pi}{2}\) (ось \(y\))

4.14. Перевести \(x^2 + (y - 2)^2 = 4\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 14)

Переведите уравнение \(x^2 + (y - 2)^2 = 4\) в полярную форму. Подсказка: сначала раскройте скобки.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Раскрытие: \[x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4\] \[x^2 + y^2 - 4y = 0\]
  2. Подстановка: \[r^2 - 4r \sin \theta = 0\]
  3. Факторизация: \[r(r - 4 \sin \theta) = 0\]
  4. Решение (кроме \(r = 0\)): \[r = 4 \sin \theta\]

Ответ: \(r = 4 \sin \theta\)

4.15. Перевести \(y^2 = 8x\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 15)

Переведите параболу \(y^2 = 8x\), открытую вправо, в полярную форму с фокусом в начале координат.

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: для \(y^2 = 4px\) фокус в \((p, 0)\), директриса \(x = -p\).

  1. Параметры: \[y^2 = 8x \implies 4p = 8 \implies p = 2\]

    Фокус \((2, 0)\), директриса \(x = -2\).

  2. Сдвиг: \(X = x - 2\), \(Y = y\). Тогда \(y^2 = 8x\) переписывается как \(Y^2 = 8(X + 2)\).

  3. Парабола с \(e = 1\) и \(d = 2p = 4\): \[r = \frac{ed}{1 - e \cos \theta} = \frac{1 \cdot 4}{1 - 1 \cdot \cos \theta}\]

Ответ: \(r = \frac{4}{1 - \cos \theta}\), где \(e = 1\), \(d = 4\), парабола

4.16. Перевести \(3x^2 + 4y^2 = 12\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 16)

Переведите эллипс \(3x^2 + 4y^2 = 12\) в полярную форму с фокусом в начале координат.

Нажмите, чтобы показать решение

  1. Канонический вид: \[\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\]

    Здесь \(a = 2\), \(b = \sqrt{3}\).

  2. Эксцентриситет: \[c^2 = a^2 - b^2 = 4 - 3 = 1 \implies c = 1\] \[e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\]

  3. Правый фокус и директриса:

    • Правый фокус: \((1, 0)\)
    • Директриса: \(x = \frac{a}{e} = \frac{2}{1/2} = 4\)
    • Расстояние \(d = 4 - 1 = 3\)

  4. Сдвиг \((X, Y) = (x - 1, y)\): \[r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 3}{1 + \frac{1}{2} \cos \theta}\]

  5. Упрощение: \[r = \frac{3/2}{1 + \frac{1}{2} \cos \theta} = \frac{3}{2 + \cos \theta}\]

Ответ: \(r = \frac{3}{2 + \cos \theta}\), где \(e = \frac{1}{2}\), \(d = 3\), эллипс

4.17. Перевести \(4x^2 - 9y^2 = 36\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 17)

Переведите гиперболу \(4x^2 - 9y^2 = 36\) в полярную форму с фокусом в начале координат.

Нажмите, чтобы показать решение

  1. Канонический вид: \[\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\]

    Здесь \(a = 3\), \(b = 2\).

  2. Эксцентриситет: \[c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 4 = 13 \implies c = \sqrt{13}\] \[e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{3}\]

  3. Правый фокус и директриса:

    • Правый фокус: \((\sqrt{13}, 0)\)
    • Директриса: \(x = \frac{a}{e} = \frac{3}{\sqrt{13}/3} = \frac{9}{\sqrt{13}}\)
    • Расстояние: \(d = \frac{9}{\sqrt{13}} - \sqrt{13} = \frac{9 - 13}{\sqrt{13}} = \frac{4}{\sqrt{13}}\)

  4. Полярная форма: \[r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{13}}{3} \cdot \frac{4}{\sqrt{13}}}{1 + \frac{\sqrt{13}}{3} \cos \theta}\]

  5. Упрощение: \[r = \frac{4/3}{1 + \frac{\sqrt{13}}{3} \cos \theta} = \frac{4}{3 + \sqrt{13} \cos \theta}\]

Ответ: \(r = \frac{4}{3 + \sqrt{13} \cos \theta}\), где \(e = \frac{\sqrt{13}}{3}\), \(d = \frac{4}{\sqrt{13}}\), гипербола

4.18. Перевести \(x^2 = -12y\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 18)

Переведите параболу \(x^2 = -12y\), открытую вниз, в полярную форму с фокусом в начале координат.

Нажмите, чтобы показать решение

  1. Параметры: \[x^2 = -4py \implies 4p = 12 \implies p = 3\]

    Фокус \((0, -3)\), директриса \(y = 3\).

  2. Сдвиг: \((X, Y) = (x, y + 3)\). Тогда \(x^2 = -12y\) даёт \(X^2 = -12(Y - 3)\).

  3. Парабола с \(e = 1\) и \(d = 2p = 6\): \[r = \frac{ed}{1 + e \sin \theta} = \frac{1 \cdot 6}{1 + 1 \cdot \sin \theta}\]

Ответ: \(r = \frac{6}{1 + \sin \theta}\), где \(e = 1\), \(d = 6\), парабола

4.19. Перевести \(9x^2 + 16y^2 = 144\) в полярную форму (Лаба 10, Задание 19)

Переведите эллипс \(9x^2 + 16y^2 = 144\) в полярную форму с фокусом в начале координат.

Нажмите, чтобы показать решение

  1. Канонический вид: \[\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\]

    Здесь \(a = 4\), \(b = 3\).

  2. Эксцентриситет: \[c^2 = a^2 - b^2 = 16 - 9 = 7 \implies c = \sqrt{7}\] \[e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{4}\]

  3. Правый фокус и директриса:

    • Правый фокус: \((\sqrt{7}, 0)\)
    • Директриса: \(x = \frac{a}{e} = \frac{4}{\sqrt{7}/4} = \frac{16}{\sqrt{7}}\)
    • Расстояние: \(d = \frac{16}{\sqrt{7}} - \sqrt{7} = \frac{16 - 7}{\sqrt{7}} = \frac{9}{\sqrt{7}}\)

  4. Полярная форма: \[r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{9}{\sqrt{7}}}{1 + \frac{\sqrt{7}}{4} \cos \theta}\]

  5. Упрощение: \[r = \frac{9/4}{1 + \frac{\sqrt{7}}{4} \cos \theta} = \frac{9}{4 + \sqrt{7} \cos \theta}\]

Ответ: \(r = \frac{9}{4 + \sqrt{7} \cos \theta}\), где \(e = \frac{\sqrt{7}}{4}\), \(d = \frac{9}{\sqrt{7}}\), эллипс

4.20. Перевести \(r = \frac{4}{1+\cos \theta}\) в декартову форму (Лаба 10, Задание 20)

Переведите полярное уравнение \(r = \frac{4}{1+\cos \theta}\) в декартову форму и укажите тип коники.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Умножение на знаменатель: \[r(1 + \cos \theta) = 4\] \[r + r \cos \theta = 4\]
  2. Подстановка \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\), \(r \cos \theta = x\): \[\sqrt{x^2 + y^2} + x = 4\]
  3. Изолируем радикал: \[\sqrt{x^2 + y^2} = 4 - x\]
  4. Возведение в квадрат: \[x^2 + y^2 = 16 - 8x + x^2\]
  5. Упрощение: \[y^2 = 16 - 8x\] \[y^2 = -8(x - 2)\]

Ответ: \(y^2 = -8(x - 2)\) — парабола, открытая влево.

4.21. Тип коники для \(r = \frac{6}{2-3 \sin \theta}\) (Лаба 10, Задание 21)

Найдите эксцентриситет \(e\), параметр \(d\) (расстояние до директрисы) и тип кривой для \(r = \frac{6}{2-3 \sin \theta}\).

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Стандартный вид: \[r = \frac{6}{2-3 \sin \theta} = \frac{3}{1 - \frac{3}{2} \sin \theta}\]
  2. Сравнение с \(r = \frac{ed}{1 - e \sin \theta}\): \[ed = 3 \text{ и } e = \frac{3}{2}\]
  3. Находим \(d\): \[d = \frac{3}{e} = \frac{3}{3/2} = 2\]

Ответ: \(e = \frac{3}{2}\), \(d = 2\); так как \(e > 1\), это гипербола.

4.22. Тип коники для \(r = \frac{3}{1-2 \cos \theta}\) (Лаба 10, Задание 22)

Найдите \(e\), \(d\) и тип кривой для \(r = \frac{3}{1-2 \cos \theta}\).

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Сравнение с \(r = \frac{ed}{1 - e \cos \theta}\): \[ed = 3 \text{ и } e = 2\]
  2. Находим \(d\): \[d = \frac{3}{2}\]

Ответ: \(e = 2\), \(d = \frac{3}{2}\); так как \(e > 1\), это гипербола.

4.23. Прямая через две точки в полярных координатах (Лаба 10, Задание 23)

Найдите уравнение прямой через точки \(P_1(r_1, \theta_1)\) и \(P_2(r_2, \theta_2)\) в полярных координатах.

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: начните с уравнения прямой в декартовых координатах и перейдите к полярным.

  1. Декартова прямая через две точки: \[\frac{x - x_2}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_2}{y_2 - y_1}\]

  2. Подстановка \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\) и аналогично для \((r_1,\theta_1)\), \((r_2,\theta_2)\):

    • \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\)
    • \(x_1 = r_1 \cos \theta_1\), \(y_1 = r_1 \sin \theta_1\)
    • \(x_2 = r_2 \cos \theta_2\), \(y_2 = r_2 \sin \theta_2\)

  3. Получаем: \[\frac{r \cos \theta - r_2 \cos \theta_2}{r_2 \cos \theta_2 - r_1 \cos \theta_1} = \frac{r \sin \theta - r_2 \sin \theta_2}{r_2 \sin \theta_2 - r_1 \sin \theta_1}\]

  4. Перекрёстное умножение и раскрытие: \[(r \cos \theta - r_2 \cos \theta_2)(r_2 \sin \theta_2 - r_1 \sin \theta_1) = (r \sin \theta - r_2 \sin \theta_2)(r_2 \cos \theta_2 - r_1 \cos \theta_1)\]

  5. После алгебры и тригонометрии: \[\sin(\theta_2 - \theta) = \cos \theta \sin \theta_2 - \sin \theta \cos \theta_2\]

    В итоге:

Ответ: \[r[r_1 \sin(\theta - \theta_1) + r_2 \sin(\theta_2 - \theta)] = r_1r_2 \sin(\theta_2 - \theta_1)\]

Альтернативная форма: \[\frac{1}{r} \sin(\theta_2 - \theta_1) = \frac{1}{r_2} \sin(\theta - \theta_1) - \frac{1}{r_1} \sin(\theta - \theta_2)\]

Или: \[r = \frac{r_1r_2 \sin(\theta_2 - \theta_1)}{r_1 \sin(\theta - \theta_1) - r_2 \sin(\theta - \theta_2)}\]

4.24. Прямая через \(P_1(2, \frac{\pi}{6})\) и \(P_2(3, \frac{\pi}{3})\) (Лаба 10, Задание 23)

Найдите уравнение прямой через \(P_1(2, \frac{\pi}{6})\) и \(P_2(3, \frac{\pi}{3})\) и проверьте, что на ней лежит точка \((\frac{6}{3\sqrt{3}-2}, \frac{\pi}{2})\).

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Формула: \[r \left[ 2 \sin \left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) + 3 \sin \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right) \right] = 2 \cdot 3 \cdot \sin \left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}\right)\]
  2. Правая часть: \[r \left[ 2 \sin \left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) + 3 \sin \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right) \right] = 6 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\] \[r \left[ 2 \sin \left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) + 3 \sin \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right) \right] = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\]
  3. Проверка точки \((\frac{6}{3\sqrt{3}-2}, \frac{\pi}{2})\): Подставим \(\theta = \frac{\pi}{2}\): \[r \left[ 2 \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + 3 \sin \left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2}\right) \right] = 3\] \[r \left[ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \right] = 3\] \[r \left[ \sqrt{3} - \frac{3}{2} \right] = 3\] \[r = \frac{3}{\sqrt{3} - \frac{3}{2}} = \frac{6}{2\sqrt{3} - 3} = \frac{6}{3\sqrt{3} - 2}\] ✓

Ответ: \(r \left[ 2 \sin \left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) + 3 \sin \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right) \right] = 3\)

4.25. Перпендикуляр к прямой через точку (Лаба 10, Задание 24)

Найдите уравнение прямой, перпендикулярной прямой через \(P_1(r_1, \theta_1)\) и \(P_2(r_2, \theta_2)\), проходящей через \(P_0(r_0, \theta_0)\).

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: условие перпендикулярности наклонов в декартовых координатах и переход к полярным.

  1. Угловой коэффициент данной прямой: \[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{r_2 \sin \theta_2 - r_1 \sin \theta_1}{r_2 \cos \theta_2 - r_1 \cos \theta_1}\]
  2. Перпендикулярный наклон: \[m_{\perp} = -\frac{1}{m} = -\frac{r_2 \cos \theta_2 - r_1 \cos \theta_1}{r_2 \sin \theta_2 - r_1 \sin \theta_1}\]
  3. Уравнение через \((x_0, y_0) = (r_0 \cos \theta_0, r_0 \sin \theta_0)\): \[y - r_0 \sin \theta_0 = m_{\perp}(x - r_0 \cos \theta_0)\]
  4. Подстановка полярных координат и упрощение: \[r \sin \theta - r_0 \sin \theta_0 = -\frac{r_2 \cos \theta_2 - r_1 \cos \theta_1}{r_2 \sin \theta_2 - r_1 \sin \theta_1} (r \cos \theta - r_0 \cos \theta_0)\]
  5. Перекрёстное умножение и \(\cos(A-B)\):

Ответ: \[r[r_2 \cos(\theta - \theta_2) - r_1 \cos(\theta - \theta_1)] = r_0[r_2 \cos(\theta_0 - \theta_2) - r_1 \cos(\theta_0 - \theta_1)]\]

4.26. Пример: перпендикуляр к прямой (Лаба 10, Задание 24)

Найдите уравнение прямой, перпендикулярной прямой через \(P_1(2, \frac{\pi}{6})\) и \(P_2(3, \frac{\pi}{3})\), проходящей через \(P_0(1, \frac{\pi}{4})\).

Нажмите, чтобы показать решение

  1. Формула: \[r \left[ 2 \cos \left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) - 3 \cos \left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) \right] = 1 \cdot \left[ 2 \cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) - 3 \cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}\right) \right]\]

  2. Правая часть: \[2 \cos \left(\frac{\pi}{12}\right) - 3 \cos \left(-\frac{\pi}{12}\right)\]

    Так как \(\cos(-x) = \cos(x)\): \[= 2 \cos \left(\frac{\pi}{12}\right) - 3 \cos \left(\frac{\pi}{12}\right) = -\cos \left(\frac{\pi}{12}\right)\]

Ответ: \(r \left[ 2 \cos \left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) - 3 \cos \left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) \right] = -\cos \left(\frac{\pi}{12}\right)\)

4.27. Перевести \((-3, 3)\) из декартовых в полярные (Лекция 10, Пример 1)

Переведите декартовы координаты \((-3, 3)\) в полярные.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Вычисляем \(r\): \[r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\]
  2. Тангенс: \[\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{3}{-3} = -1\]
  3. Квадрант: Точка \((-3, 3)\) во II квадранте, поэтому: \[\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\]

Ответ: \((3\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4})\)

4.28. Перевести \((4, \frac{2\pi}{3})\) из полярных в декартовы (Лекция 10, Пример 2)

Переведите полярные координаты \((4, \frac{2\pi}{3})\) в декартовы.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Координата \(x\): \[x = r \cos \theta = 4 \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2\]
  2. Координата \(y\): \[y = r \sin \theta = 4 \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\]

Ответ: \((-2, 2\sqrt{3})\)

4.29. Перевести \((4, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})\) из сферических в декартовы (Лекция 10, Пример 3)

Переведите сферические координаты \((\rho, \theta, \varphi) = (4, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})\) в декартовы.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. \(x\): \[x = \rho \sin \varphi \cos \theta = 4 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\] \[= 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}\]
  2. \(y\): \[y = \rho \sin \varphi \sin \theta = 4 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\] \[= 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\]
  3. \(z\): \[z = \rho \cos \varphi = 4 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2\]

Ответ: \((\sqrt{3}, 3, -2)\)

4.30. Перевести \((1, 1, \sqrt{2})\) из декартовых в сферические (Лекция 10, Пример 4)

Переведите декартовы координаты \((x, y, z) = (1, 1, \sqrt{2})\) в сферические.

Нажмите, чтобы показать решение

  1. \(\rho\): \[\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2\]

  2. \(\theta\): \[\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}\]

    (Так как \(x > 0\) и \(y > 0\), это I квадрант.)

  3. \(\varphi\): \[\varphi = \arccos\left(\frac{z}{\rho}\right) = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}\]

Ответ: \((2, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})\)

4.31. Фокусы и директрисы для \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\) (Лекция 10, Пример 17–18)

Найдите фокусы, эксцентриситет и директрисы эллипса \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\).

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Параметры: \[a^2 = 16 \implies a = 4\] \[b^2 = 9 \implies b = 3\]
  2. Эксцентриситет: \[e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\]
  3. Фокусы: \[\text{Фокусы: } (\pm ae, 0) = \left(\pm 4 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}, 0\right) = (\pm \sqrt{7}, 0)\]
  4. Директрисы: \[x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{4}{\sqrt{7}/4} = \pm \frac{16}{\sqrt{7}} = \pm \frac{16\sqrt{7}}{7}\]

Ответ:

  • Эксцентриситет: \(e = \frac{\sqrt{7}}{4}\)
  • Фокусы: \((\pm \sqrt{7}, 0)\)
  • Директрисы: \(x = \pm \frac{16\sqrt{7}}{7}\)
4.32. Фокусы и директрисы для \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\) (Лекция 10, Пример 20–21)

Найдите фокусы, эксцентриситет и директрисы гиперболы \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\).

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Параметры: \[a^2 = 16 \implies a = 4\] \[b^2 = 9 \implies b = 3\]
  2. Эксцентриситет: \[e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}\]
  3. Фокусы: \[\text{Фокусы: } (\pm ae, 0) = \left(\pm 4 \cdot \frac{5}{4}, 0\right) = (\pm 5, 0)\]
  4. Директрисы: \[x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{4}{5/4} = \pm \frac{16}{5}\]

Ответ:

  • Эксцентриситет: \(e = \frac{5}{4}\)
  • Фокусы: \((\pm 5, 0)\)
  • Директрисы: \(x = \pm \frac{16}{5}\)
4.33. Тип коники для \(r = \frac{6}{2 + 4 \sin \theta}\) (Лекция 10, Пример 29–30)

Проанализируйте \(r = \frac{6}{2 + 4 \sin \theta}\): тип кривой, эксцентриситет и директрису.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Стандартный вид: \[r = \frac{6}{2 + 4 \sin \theta} = \frac{3}{1 + 2 \sin \theta}\]
  2. Сравнение с \(r = \frac{ed}{1 + e \sin \theta}\): \[e = 2 \quad \text{(эксцентриситет)}\] \[ed = 3 \implies 2d = 3 \implies d = \frac{3}{2}\]
  3. Тип: Так как \(e = 2 > 1\), это гипербола.
  4. Директриса: Вид \(1 + e \sin \theta\) соответствует горизонтальной директрисе выше фокуса: \(y = \frac{3}{2}\).

Ответ: гипербола с \(e = 2\) и директрисой \(y = \frac{3}{2}\)

4.34. Полярное уравнение параболы с директрисой \(x = -4\) (Лекция 10, Пример 5)

Найдите полярное уравнение параболы с фокусом в начале координат и директрисой \(x = -4\).

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: для параболы \(e = 1\); при директрисе \(x = -4\) имеем \(d = 4\) (расстояние от фокуса до директрисы).

  1. Форма \(r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}\): Директриса вертикальна слева от фокуса — берём знак «\(+\)» в знаменателе.
  2. Подстановка: \[r = \frac{(1)(4)}{1 + (1) \cos \theta} = \frac{4}{1 + \cos \theta}\]

Ответ: \(r = \frac{4}{1 + \cos \theta}\)

4.35. Полярное уравнение эллипса при \(e = \frac{1}{2}\) и директрисе \(y = 6\) (Лекция 10, Пример 32–33)

Найдите полярное уравнение эллипса с эксцентриситетом \(e = \frac{1}{2}\) и директрисой \(y = 6\).

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Параметры: \[e = \frac{1}{2}, \quad d = 6\]
  2. Форма \(r = \frac{ed}{1 + e \sin \theta}\): Горизонтальная директриса выше начала — знак «\(+\)» с \(\sin \theta\).
  3. Подстановка: \[r = \frac{(\frac{1}{2})(6)}{1 + (\frac{1}{2}) \sin \theta} = \frac{3}{1 + \frac{1}{2} \sin \theta}\]
  4. Избавляемся от дроби в знаменателе: \[r = \frac{6}{2 + \sin \theta}\]

Ответ: \(r = \frac{6}{2 + \sin \theta}\)

4.36. Вершины для \(r = \frac{12}{4 + 8 \cos \theta}\) (Лекция 10, Пример 6)

Найдите вершины коники \(r = \frac{12}{4 + 8 \cos \theta}\).

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Стандартный вид: \[r = \frac{12}{4 + 8 \cos \theta} = \frac{3}{1 + 2 \cos \theta}\]
  2. Тип: Так как \(e = 2 > 1\), это гипербола.
  3. Вершины при \(\theta = 0\) и \(\theta = \pi\):
    • При \(\theta = 0\): \(r = \frac{3}{1 + 2 \cos 0} = \frac{3}{1 + 2} = \frac{3}{3} = 1\)
    • При \(\theta = \pi\): \(r = \frac{3}{1 + 2 \cos \pi} = \frac{3}{1 - 2} = \frac{3}{-1} = -3\)
  4. Отрицательное \(r\): Точка \((-3, \pi)\) эквивалентна \((3, 0)\) (идём на 3 единицы в противоположном направлении).

Ответ: вершины в \((1, 0)\) и \((3, 0)\)

4.37. Перевести \(r = \frac{4}{2 - 2 \cos \theta}\) в декартову форму (Лекция 10, Пример 7)

Переведите полярное уравнение \(r = \frac{4}{2 - 2 \cos \theta}\) в декартову форму.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Упрощение: \[r = \frac{4}{2 - 2 \cos \theta} = \frac{2}{1 - \cos \theta}\]
  2. Умножение на знаменатель: \[r(1 - \cos \theta) = 2\] \[r - r \cos \theta = 2\]
  3. Подстановка \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\), \(r \cos \theta = x\): \[\sqrt{x^2 + y^2} - x = 2\]
  4. Изолируем радикал: \[\sqrt{x^2 + y^2} = x + 2\]
  5. Квадрат: \[x^2 + y^2 = (x + 2)^2\] \[x^2 + y^2 = x^2 + 4x + 4\]
  6. Упрощение: \[y^2 = 4x + 4\] \[y^2 = 4(x + 1)\]

Ответ: \(y^2 = 4(x + 1)\) — парабола, открытая вправо, вершина в \((-1, 0)\).

4.38. Перевести \(r = \frac{6}{3 + 2 \cos \theta}\) в декартову форму (эллипс) (Лекция 10, Пример 41–45)

Переведите \(r = \frac{6}{3 + 2 \cos \theta}\) в декартову форму.

Нажмите, чтобы показать решение

  1. Стандартный вид: \[r = \frac{6}{3 + 2 \cos \theta} = \frac{2}{1 + \frac{2}{3} \cos \theta}\]

    Здесь \(e = \frac{2}{3}\) (эллипс), \(ed = 2\), значит \(d = 3\).

  2. Умножение: \[r(3 + 2 \cos \theta) = 6\] \[3r + 2r \cos \theta = 6\]

  3. Подстановка \(r \cos \theta = x\), \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\): \[3\sqrt{x^2 + y^2} + 2x = 6\]

  4. Радикал: \[3\sqrt{x^2 + y^2} = 6 - 2x\] \[\sqrt{x^2 + y^2} = 2 - \frac{2}{3}x\]

  5. Квадрат: \[x^2 + y^2 = \left(2 - \frac{2}{3}x\right)^2 = 4 - \frac{8}{3}x + \frac{4}{9}x^2\]

  6. Преобразование: \[x^2 - \frac{4}{9}x^2 + y^2 + \frac{8}{3}x - 4 = 0\] \[\frac{5}{9}x^2 + y^2 + \frac{8}{3}x - 4 = 0\]

  7. Умножение на 9 и выделение полного квадрата: \[5x^2 + 9y^2 + 24x - 36 = 0\] \[5\left(x^2 + \frac{24}{5}x\right) + 9y^2 = 36\] \[5\left(x + \frac{12}{5}\right)^2 + 9y^2 = 36 + 5 \cdot \frac{144}{25} = \frac{324}{5}\]

  8. Канонический вид: \[\frac{(x + \frac{12}{5})^2}{\frac{324}{25}} + \frac{y^2}{\frac{324}{45}} = 1\]

Ответ: эллипс с центром в \((-2.4, 0)\), \(a \approx 3.6\), \(b \approx 2.68\)

4.39. Перевести \(r = \frac{4}{1 + 2 \cos \theta}\) в декартову форму (гипербола) (Лекция 10, Пример 46–49)

Переведите \(r = \frac{4}{1 + 2 \cos \theta}\) в декартову форму.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Параметры: \(e = 2\) (гипербола), \(ed = 4\), значит \(d = 2\).
  2. Умножение: \[r(1 + 2 \cos \theta) = 4\] \[r + 2r \cos \theta = 4\]
  3. Подстановка: \[\sqrt{x^2 + y^2} + 2x = 4\]
  4. Изоляция и квадрат: \[\sqrt{x^2 + y^2} = 4 - 2x\] \[x^2 + y^2 = 16 - 16x + 4x^2\]
  5. Преобразование: \[-3x^2 + 16x + y^2 = 16\]
  6. Выделение полного квадрата: \[-3\left(x^2 - \frac{16}{3}x\right) + y^2 = 16\] \[-3\left(x - \frac{8}{3}\right)^2 + y^2 = 16 - 3 \cdot \frac{64}{9} = -\frac{16}{3}\]
  7. Канонический вид: \[\frac{(x - \frac{8}{3})^2}{(\frac{4}{3})^2} - \frac{y^2}{(\frac{4}{\sqrt{3}})^2} = 1\]

Ответ: гипербола с центром в \(\left(\frac{8}{3}, 0\right)\)

4.40. Эллипс \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\) в полярной форме (Лекция 10, Пример 50–52)

Переведите эллипс \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\) в полярную форму с правым фокусом в начале координат.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Параметры: \[a = 5, \quad b = 4, \quad c = \sqrt{25 - 16} = 3\] \[e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} = 0.6\]
  2. Правый фокус \((3, 0)\): Сдвиг: \(X = x - 3\), \(Y = y\).
  3. Формула \(r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e \cos \theta}\): \[a(1 - e^2) = 5(1 - 0.36) = 5(0.64) = 3.2\]
  4. Полярная форма: \[r = \frac{3.2}{1 + 0.6 \cos \theta}\]

Ответ: \(r = \frac{3.2}{1 + 0.6 \cos \theta}\) или \(r = \frac{16}{5 + 3 \cos \theta}\)

4.41. Практика: \((2\sqrt{3}, -2)\) в полярные (Лекция 10, Задание 1)

Переведите \((2\sqrt{3}, -2)\) в полярные координаты.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. \(r\): \[r = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4\]
  2. Тангенс: \[\tan \theta = \frac{-2}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\]
  3. Квадрант: Точка в IV квадранте (\(x>0\), \(y<0\)): \[\theta = -\frac{\pi}{6} \text{ или } \theta = \frac{11\pi}{6}\]

Ответ: \((4, -\frac{\pi}{6})\) или \((4, \frac{11\pi}{6})\)

4.42. Практика: \((5, \frac{7\pi}{6})\) в декартовы (Лекция 10, Задание 2)

Переведите полярные координаты \((5, \frac{7\pi}{6})\) в декартовы.

Нажмите, чтобы показать решение
  1. \(x\): \[x = 5 \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = 5 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{5\sqrt{3}}{2}\]
  2. \(y\): \[y = 5 \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{5}{2}\]

Ответ: \(\left(-\frac{5\sqrt{3}}{2}, -\frac{5}{2}\right)\)

4.43. Практика: тип кривой для \(r = \frac{8}{4 - 2 \cos \theta}\) (Лекция 10, Задание 3)

Определите тип коники для \(r = \frac{8}{4 - 2 \cos \theta}\).

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Стандартный вид: \[r = \frac{8}{4 - 2 \cos \theta} = \frac{4}{2 - \cos \theta} = \frac{2}{1 - \frac{1}{2} \cos \theta}\]
  2. Эксцентриситет: \[e = \frac{1}{2} < 1\]

Ответ: эллипс с \(e = \frac{1}{2}\)

4.44. Практика: полярное уравнение при \(e = 0.8\) и директрисе \(x = 5\) (Лекция 10, Задание 4)

Найдите полярное уравнение эллипса с \(e = 0.8\) и директрисой \(x = 5\).

Нажмите, чтобы показать решение
  1. Параметры: \[e = 0.8 = \frac{4}{5}, \quad d = 5\]
  2. Форма \(r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}\): \[r = \frac{0.8 \cdot 5}{1 + 0.8 \cos \theta} = \frac{4}{1 + 0.8 \cos \theta}\]
  3. Без десятичных дробей: \[r = \frac{20}{5 + 4 \cos \theta}\]

Ответ: \(r = \frac{20}{5 + 4 \cos \theta}\)

4.45. Задача о прямой Симсона (Туториал 10, Задание 3)

Треугольник \(ABC\) задан точками с полярными углами \(\alpha, \beta, \gamma\) на окружности \(r = 2a \cos \theta\); стороны — отрезки прямых. Докажите, что основания перпендикуляров из начала координат на эти прямые лежат на прямой \(2a \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma = r \cos(\theta - \alpha - \beta - \gamma)\).

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: это проявление прямой Симсона (Simson line) в полярных координатах.

  1. Вершины:

    • \(A(2a \cos \alpha, \alpha)\)
    • \(B(2a \cos \beta, \beta)\)
    • \(C(2a \cos \gamma, \gamma)\)

  2. Прямая \(AB\): \[r_{AB} = \frac{2a \cos \alpha \cos \beta}{\cos(\theta - (\alpha + \beta))}\]

    Аналогично: \[r_{BC} = \frac{2a \cos \beta \cos \gamma}{\cos(\theta - (\beta + \gamma))}\] \[r_{AC} = \frac{2a \cos \alpha \cos \gamma}{\cos(\theta - (\alpha + \gamma))}\]

  3. Углы перпендикуляров: \[\tan \phi_{AB} = -\cot(\alpha + \beta)\]

    Значит для перпендикуляра: \[\tan \psi_{AB} = \tan(\alpha + \beta)\]

    и \(\psi_{AB} = \alpha + \beta\) — полярный угол перпендикуляра из начала на \(AB\).

  4. Основания перпендикуляров: Подставляя \(\psi_{AB}, \psi_{BC}, \psi_{AC}\):

    • \(P(2a \cos \alpha \cos \beta, \alpha + \beta)\)
    • \(Q(2a \cos \beta \cos \gamma, \beta + \gamma)\)
    • \(R(2a \cos \alpha \cos \gamma, \alpha + \gamma)\)

  5. Коллинеарность: Уравнение прямой через \(P\) и \(R\) после упрощений даёт \[r_{PR} = \frac{2a \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma}{\cos(\theta - \alpha - \beta - \gamma)}\]

Ответ: основания лежат на прямой Симсона: \[r = \frac{2a \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma}{\cos(\theta - \alpha - \beta - \gamma)}\]

Замечание: прямая Симсона — классический факт: для точки на описанной окружности основания перпендикуляров на стороны треугольника лежат на одной прямой.